素數(shù)和合數(shù),為什么1既不是素數(shù)也...
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2023-09-28
作者 | 大小吳
來源 | 大小吳的數(shù)學課堂
今天大小吳來和大家探討一個問題:為什么1既不是素數(shù)也不是合數(shù)?
1 因數(shù)的個數(shù)對于這個問題,我們可以參考六年級課本上對于素數(shù)的定義:
“一個正整數(shù),如果只有1和它本身兩個因數(shù),這樣的數(shù)叫做素數(shù)(prime number),也叫做質(zhì)數(shù);如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù)(composite number).
也就是說,如果我們以因數(shù)個數(shù)為標準對正整數(shù)進行分類,可以得到如下表格:
正整數(shù)因數(shù)情況因數(shù)個數(shù)1個素數(shù)1、本身2個合數(shù)1、本身、其他因數(shù)大于等于3個可以看出,1的因數(shù)只有1本身,所以它既不屬于素數(shù)的范疇也不屬于合數(shù)的范疇。這樣就把正整數(shù)分為了1、素數(shù)、合數(shù)三類,用這樣的方式解釋“1既不是素數(shù)也不是合數(shù)”似乎也說得過去。
2 素因數(shù)分解的唯一性實際上,1既不是素數(shù)也不是合數(shù)這件事需要用到“素因數(shù)分解的唯一性”來說明,也即算術(shù)基本定理:
“任何一個大于1的自然數(shù) ,如果不為質(zhì)數(shù),都可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積,即
這里均為質(zhì)數(shù),其諸指數(shù)是正整數(shù).這個定理從本質(zhì)上講指的是在對合數(shù)進行素因數(shù)分解時體現(xiàn)出的以下兩種性質(zhì):“存在性和唯一性”。存在性指的是一個合數(shù)的素因數(shù)分解是必然存在的;唯一性指的是這種分解表示是唯一的。舉個簡單的例子,18是個合數(shù),如果我們對它進行素因數(shù)分解,可以得到:
存在性和唯一性都是顯然易見的,因為我們不可能把18分解成或是等其他的形式。
3 算術(shù)基本定理的證明然而在數(shù)學上,對于一個定理我們不能以“顯然成立”這樣的話就把對定理的證明搪塞過去了,對于這件事我們一定要嚴格證明一遍。首先,在證明算術(shù)基本定理之前,我們需要用到兩個引理:
“引理1:當和互素時,如果能被整除,那么也能被整除.
證明如下:因為和互素,所以,又因為能被整除,所以為與某個整數(shù)的乘積:
由可知,
將代入,可得:
即
因為必然為整數(shù),所以能被整除。
“引理2:如果和無法被素數(shù)整除,那么其乘積也無法被整除.
對于此定理的證明用反證法,且需用到引理1:假設(shè)能被整除,因為無法被素數(shù)整除,所以,則根據(jù)引理1可知,必然能被整除。然而,這與無法被整除的已知條件矛盾。所以,不能被整除。
因此,當都不能被整除時,其乘積也無法被整除。
換句話說,當能被整除時,那么或或或能被整除。(逆否命題)
這樣,我們就為證明“分解素因數(shù)的方法只有一種”做好了準備工作。
接著,仍然用反證法,假設(shè)合數(shù)有兩種分解方法:
消去相同的部分,可得
假設(shè)左邊的素數(shù)和右邊的素數(shù)各不相同(倘若有相同的素因數(shù),則在上一步時已經(jīng)消去了),那么根據(jù)引理2,因為能被整除,所以中的某個素數(shù)必然能被整除。也就是說必然存在,使得
這與假設(shè)是矛盾的,故上述等式不成立。我們逐一約去等式兩邊相同的素數(shù),最終可以得到:
也就是說,等式兩邊的素數(shù)從一開始就是完全相同的。
這樣,我們就證明了算術(shù)基本定理。
4 為什么1既不是素數(shù)也不是合數(shù)我們來考慮如果把1也納入到素數(shù)中會出現(xiàn)什么情況,以6為例:
這樣就使得合數(shù)分解素因數(shù)的唯一性不成立了,違背了算術(shù)基本定理。
因此,1不屬于素數(shù),1也顯然不是合數(shù),所以1是唯一一個既不是素數(shù)也不是合數(shù)的正整數(shù)。
參考文獻[1]上海師范大學.初級中學課本(試用本)-數(shù)學(六年級第一學期)[Z].上海教育出版社,2019.[2](日)遠山啟.數(shù)學女王的邀請——初等數(shù)論入門[M].逸寧譯.人民郵電出版社,2020.
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