來源頭條作者:好玩的數(shù)學

作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數(shù)學課堂

今天大小吳來和大家探討一個問題：為什么1既不是素數(shù)也不是合數(shù)？

1 因數(shù)的個數(shù)

對于這個問題，我們可以參考六年級課本上對于素數(shù)的定義：

“

一個正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素數(shù)（prime number），也叫做質數(shù)；如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)（composite number）.

也就是說，如果我們以因數(shù)個數(shù)為標準對正整數(shù)進行分類，可以得到如下表格：

正整數(shù)因數(shù)情況因數(shù)個數(shù)1個素數(shù)1、本身2個合數(shù)1、本身、其他因數(shù)大于等于3個

可以看出，1的因數(shù)只有1本身，所以它既不屬于素數(shù)的范疇也不屬于合數(shù)的范疇。這樣就把正整數(shù)分為了1、素數(shù)、合數(shù)三類，用這樣的方式解釋“1既不是素數(shù)也不是合數(shù)”似乎也說得過去。

2 素因數(shù)分解的唯一性

實際上，1既不是素數(shù)也不是合數(shù)這件事需要用到“素因數(shù)分解的唯一性”來說明，也即算術基本定理：

“

任何一個大于1的自然數(shù) ，如果不為質數(shù)，都可以唯一分解成有限個質數(shù)的乘積，即

這里均為質數(shù)，其諸指數(shù)是正整數(shù).

這個定理從本質上講指的是在對合數(shù)進行素因數(shù)分解時體現(xiàn)出的以下兩種性質：“存在性和唯一性”。存在性指的是一個合數(shù)的素因數(shù)分解是必然存在的；唯一性指的是這種分解表示是唯一的。舉個簡單的例子，18是個合數(shù)，如果我們對它進行素因數(shù)分解，可以得到：

存在性和唯一性都是顯然易見的，因為我們不可能把18分解成或是等其他的形式。

3 算術基本定理的證明

然而在數(shù)學上，對于一個定理我們不能以“顯然成立”這樣的話就把對定理的證明搪塞過去了，對于這件事我們一定要嚴格證明一遍。首先，在證明算術基本定理之前，我們需要用到兩個引理：

“

引理1：當和互素時，如果能被整除，那么也能被整除.

證明如下：因為和互素，所以，又因為能被整除，所以為與某個整數(shù)的乘積：

由可知，

將代入，可得：

即

因為必然為整數(shù)，所以能被整除。

“

引理2：如果和無法被素數(shù)整除，那么其乘積也無法被整除.

對于此定理的證明用反證法，且需用到引理1：假設能被整除，因為無法被素數(shù)整除，所以，則根據(jù)引理1可知，必然能被整除。然而，這與無法被整除的已知條件矛盾。所以，不能被整除。

因此，當都不能被整除時，其乘積也無法被整除。

換句話說，當能被整除時，那么或或或能被整除。（逆否命題）

這樣，我們就為證明“分解素因數(shù)的方法只有一種”做好了準備工作。

接著，仍然用反證法，假設合數(shù)有兩種分解方法：

消去相同的部分，可得

假設左邊的素數(shù)和右邊的素數(shù)各不相同（倘若有相同的素因數(shù)，則在上一步時已經(jīng)消去了），那么根據(jù)引理2，因為能被整除，所以中的某個素數(shù)必然能被整除。也就是說必然存在，使得

這與假設是矛盾的，故上述等式不成立。我們逐一約去等式兩邊相同的素數(shù)，最終可以得到：

也就是說，等式兩邊的素數(shù)從一開始就是完全相同的。

這樣，我們就證明了算術基本定理。

4 為什么1既不是素數(shù)也不是合數(shù)

我們來考慮如果把1也納入到素數(shù)中會出現(xiàn)什么情況，以6為例：

這樣就使得合數(shù)分解素因數(shù)的唯一性不成立了，違背了算術基本定理。

因此，1不屬于素數(shù)，1也顯然不是合數(shù)，所以1是唯一一個既不是素數(shù)也不是合數(shù)的正整數(shù)。

參考文獻[1]上海師范大學.初級中學課本（試用本）-數(shù)學（六年級第一學期）[Z].上海教育出版社，2019.[2]（日）遠山啟.數(shù)學女王的邀請——初等數(shù)論入門[M].逸寧譯.人民郵電出版社，2020.